Para nuestro siguiente
truco sólo vamos a necesitar papel cuadriculado y lápiz, o bien dibujar una
malla cuadriculada sobre la servilleta en cuestión. Intentaremos que la malla
cuadriculada sea lo más uniforme posible, y aceptamos que cada cuadradito tiene
área 1. A los cruces entre las líneas horizontales y verticales de la
cuadrícula los llamamos nodos.
Ahora vamos a pintar un polígono sobre la malla
siguiendo las siguientes reglas:
a) Los vértices del polígono deben
estar situados sobre nodos de la cuadrícula. El polígono de la
figura no es válido, por ejemplo.
b) Debe ser un polígono simple, es decir, que los lados del polígono no se crucen entre ellos, como, por ejemplo en
la siguiente figura que representa a un polígono no simple.
Pues bien, podemos dibujar un polígono como el siguiente:
¿Cuál es el área del polígono de la
figura anterior?
Evidentemente, existe
la opción de dividir el polígono en otros más simples, triángulos y cuadriláteros,
para aquellos que conocen las fórmulas correspondientes para calcular sus áreas
y responder a la pregunta planteada o bien, usar la Fórmula de Pick, que es bastante más rápido.
¿Que cuál es la
fórmula de Pick? El Teorema de Pick (1899) establece que
si tenemos un polígono simple cuyos vértices tienen
coordenadas enteras, es decir, cuyos vértices
están sobre los nodos de la cuadrícula y llamamos B al número de nodos sobre la frontera del polígono e I al número de nodos de la
cuadrícula en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:
Vamos a ver que, efectivamente, esta fórmula funciona con polígonos
sencillos para los que sabemos calcular sin dificultad el área.
En la siguiente
figura, tenemos un rectángulo, de base 4 y altura 6 (os recuerdo que cada
cuadradito de nuestra malla tiene área 1), por lo tanto, es un rectángulo de área 24; el triángulo central tiene una base de longitud 8 y una altura de 6, su área es de 24, también; y por último, el cuadrado de la derecha, tiene un lado de
longitud 3 lo que nos da un área de 9.
Vamos a calcular sus
áreas según la fórmula de Pick, para ello en rojo he puesto los nodos de la
frontera, los que nos dan el valor de B y en verde, los nodos interiores al polígono, que nos darán el valor de I y… ¡tachán!
En realidad, no hacía
falta esta comprobación puesto que el Teorema de Pick está rigurosamente
demostrado y publicado en su trabajo Geometrisches zur
Zahlenlehre, en Praga en 1899. Lamentablemente, este trabajo de Pick pasó sin pena ni
gloria y fue Hugo
Steinhaus (al que, por cierto, le dirigió la tesis doctoral nada
más y nada menos que Hilbert), el que lo dio a
conocer, ya en 1969.
George Pick
George Pick nació en
Viena en 1859, en el seno de una familia judía, lo que sin duda le allanó
el camino para poder morir en el campo de concentración de Theresienstadt,
unos 60 kilómetros al norte de Praga. Aunque, posiblemente, lo más conocido de
los trabajos de Pick, sea la fórmula presentada, llegó a publicar 67 artículos
que abarcaban temas tan diversos como el Álgebra lineal, el Análisis funcional, el Cálculo Integral o Geometría, aunque su atención se centraba, principalmente en Funciones de variable compleja, Ecuaciones
diferenciales y Geometría diferencial.
Además de lo anterior,
a Pick le corresponde el honor de haber introducido al mismísimo Albert Einstein en los trabajos de Cálculo Tensorialde Ricci y Levi-Civita, que sirvieron más tarde a don
Albert, en 1915, para formular su teoría de la relatividad general. El propio
Einstein escribía en una carta a Levi-Civita:
“Admiro la elegancia de su método de
cálculo, debe ser agradable pasear a través de estos campos a lomos del
caballo de las matemáticas reales, mientras nosotros tenemos que
hacer nuestro camino trabajosamente a pie”
Volviendo a nuestro protagonista de hoy, Pick, parece que él y
Einstein fueron grandes amigos, compartiendo además la pasión por la
música.
¿Y bien? Volviendo al reto del principio, ¿qué área tiene el polígono
grandote que os presenté? Venga, va, os echo una mano por si no os pinta el boli, os coloreo los puntitos 
Os dejo un video donde nos explican el Teorema de Pick:
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